Utilisation d'un arbre pondéré - Exercice résolu

Une compagnie aérienne possède deux types d'avions : des Airbus et des Boeing. Chaque avion  possède deux ou quatre moteurs.

60 % des avions de cette compagnie sont des Airbus. Parmi les Boeing de cette compagnie, 40 % ont deux moteurs et les  \(\dfrac{4}{9}\)  des  Airbus de cette compagnie ont quatre moteurs.

On choisit au hasard un avion de cette compagnie et on note :

•   \(A\) l'événement : « L'avion choisi est un Airbus » ;
  
• \(M\) l'événement : « L'avion choisi a deux moteurs ».

Dans cet exercice, les probabilités seront données sous la forme de fractions irréductibles.

1. Traduire les données de l'énoncé en termes de probabilités.

2. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

3. Calculer la probabilité que l'avion choisi soit un Airbus avec quatre moteurs.

4. Calculer la probabilité que l'avion choisi ait deux moteurs.

5. Calculer la probabilité que l'avion soit un Airbus sachant qu'il a deux moteurs.

Solution

  1. D'après l'énoncé, 60 % des avions de cette compagnie sont des Airbus, ce qui signifie que :
\(P(A) = \dfrac{60}{100}=\dfrac{3}{5}\) . 

Parmi les Boeing de cette compagnie, 40 % ont deux moteurs, ce qui signifie que : \(P_{\overline{A}}(M)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}\) .

De plus, les  \(\dfrac{4}{9}\)  des  Airbus de cette compagnie ont quatre moteurs, ce qui signifie que :
\(P_A(\overline{M})=\dfrac{4}{9}\) .

2. On construit ensuite un arbre pondéré représentant cette situation.

3. On doit calculer  \(P(A\cap \overline{M})\) . D'après l'arbre pondéré,  \(P(A\cap \overline{M}) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{15}\) .

La probabilité que l'avion soit un Airbus avec quatre moteurs est égale à   \(\dfrac{4}{15}\) .

4. On doit calculer \(P(M)\) . Cette probabilité s'obtient en ajoutant les probabilités des deux chemins menant à l'événement \(M\) .

\(P(M) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{5}{9} + \dfrac{2}{5}\times \dfrac{2}{5} = \dfrac{37}{75}\)  donc la probabilité que l'avion choisi ait 2 moteurs est égale à  \(\dfrac{37}{75}\) .

5. On doit calculer  \(P_M(A)\) . D'après la formule du cours,  \(P_M(A)=\dfrac{P(A \cap M)}{P(M)}\) .

Or, d'après l'arbre pondéré,  \(P(A \cap M)=\dfrac{3}{5} \times \dfrac{5}{9}=\dfrac{1}{3}\)  et, d'après la question 4,  \(P(M)=\dfrac{37}{75}\)  donc  \(P_M(A)=\dfrac{\dfrac{1}{3} }{\dfrac{37}{75}}=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{75}{37}=\dfrac{25}{37}\) .

La probabilité que l'avion soit un Airbus sachant qu'il a deux moteurs est égale à  \(\dfrac{25}{37}\) .